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Idea 89: Estudiar las dificultades que presentan las niñas y los niños de primaria en la construcción del concepto de número

¿Por qué cuando se dice trescientos ochenta y cinco se debe escribir 385 en lugar de 300805?¿Cuáles son las dificultades que deben superar los niños cuando aprenden a escribir los números arábigos? Este tema de tesis consiste en estudiar las dificultades que presentan las niñas y los niños de primaria en la construcción del concepto de número.

Tema para tesis 89: Estudiar las dificultades que presentan las niñas y los niños de primaria en la construcción del concepto de número
En una investigación realizada por  Medina (2013) se caracterizó el cambio en la producción de numerales arábigos de 29 niños que cursan el 1º grado de primaria. Se utiliza un diseño microgenético que plantea la aplicación de una tarea de escritura de numerales al dictado. En total, el autor, realiza cuatro aplicaciones con un intervalo de una semana y en cada una se propone a los niños 32 numerales diferentes – que corresponden a 5 tipos distintos–. Los resultados de esta investigación revelan que los mayores índices de variabilidad se encuentran en la producción de numerales dieces Tipo 1 y numerales de 2 dígitos sin cero, esto indica que el conocimiento que los niños poseen para la escritura de este tipo de numerales es inestable. Igualmente, los patrones de variabilidad identificados en las sesiones plantean que los procesos significativos de cambio relativos al aprendizaje ocurren entre la
primera y las dos últimas sesiones.

Además, el mismo autor, agrega:
  • El patrón de cambio identificado a lo largo de las cuatro sesiones de aplicación con relación a la categoría de logro; consistente en un progresivo aumento del éxito para la producción de numerales arábigos de 1 y 2 dígitos, sugiere –de forma preliminar – que el conocimiento de los niños se transforma y consolida a lo largo de cada una de las sesiones de trabajo hacía la producción de numerales arábigos sintáctica y léxicamente adecuados.
Como se observa, transcodificar los números involucra diversos factores, desde su valor posicional hasta su valor nominal. Indagar acerca de este tema es por demás interesante.
Si te interesa este tema te recomiendo lo siguiente:
1.- Elegir a un grupo de estudiantes.
2.- Diseñar ejercicios de números.
3.- Diseñar tus instrumentos de colección de datos.
4.- Sistematizar tus resultados.
5.- Difundir tus resultados.
6.- Disfrutar de investigar investigando.

Además, te recomiendo las siguientes lecturas

Barrouillet, P., Camos V., Perruchet, P. & Seron X. (2004). ADAPT: A developmental, asemantic, and procedural model for transcoding from verbal to
Arabic numerals. Psychological Review, 111, 2, 368 –394.
Brysbaert, M. (1995). Arabic number reading: on the nature of numerical scale and the origin of phonological recoding. Journal of Experimental Psychology: General, 124, 434 – 452.

Ceballos, F. A. (2012). Comprensión del valor de posición a partir de la relación del conteo “a partir de”, la composición aditiva y la equivalencia numérica. Un estudio exploratorio en niños de 2° de primaria ( Trabajo de Pregrado en Psicología). Universidad del Valle. Santiago de Cali, Colombia.

Guerrero L., D. F. (2004). Escritura de numerales arábigos en una tarea de dictado: La notación de los ceros (Trabajo de Pregrado en Psicología). Universidad del Valle. Santiago de Cali, Colombia.
Hederich, C. & Camargo, A. (2002). Hacia la construcción de un modelo de procesamiento numérico. El desarrollo de la transcodificación de numerales verbales a formato arábigo. Informe Técnico Final Presentado a COLCIENCIAS. Bogotá: CIUP,Universidad Pedagógica Nacional.

Hughes, M. (1986). Children and number. Difficulties in learning mathematics. Malden: Blacwell Publishers.

Lerner, D., & Sadovsky, P. (1997). El sistema de numeración: un problema didáctico. En Parra, C. & Saiz, J. (Eds.), Didáctica de las matemáticas (pp. 95
–184). Buenos Aires: Paidós.

Macaruso, P., McCloskey, M., & Aliminosa, D. (1993). The functional architecture of the cognitive numerical - processing system: Evidence from a patient with multiple impairments. Cognitive Neuropsychology, 10, 4, 341–
376
Macoir, J., Audet, T., & Breton, M. (1999). Code – dependent pathways for number transcoding: evidence from a case of selective impairment in written verbal numeral to arabic transcoding. Cortex, 35, 629 - 645.

McCloskey, M., Caramazza, A., & Basili, A. G. (1985). Cognitive mechanisms in number processing and calculation: Evidence from dyscalculia. Brain and Cognition, 44, 107 – 157.
Medina R., D. A. (2012). Efecto de la comprensión del valor de posición en la escritura de numerales arábigos en niños de 1 ̊ grado (Tesis de Maestría en Psicología). Universidad del Valle. Santiago de Cali, Colombia.
Noel, M., & Turconi, E. (1999). Assessing number transcoding in children.
European Review of applied psychology, 49 (4), 295 – 302.

Nunes, T. & Bryant, P. (1997). Las Matemáticas y su aplicación: La perspectiva del niño. México: Siglo XXI Editores.
Orozco, M, (2001). Los errores sintácticos cuando los niños aprenden a escribir numerales (PaperBook). Cali; Centro de Investigaciones en Psicología. Universidad del Valle.
Orozco, M. (2003). Estudio comparativo de errores de niños al escribir numerales. Cali, COLCIENCIAS. Proyecto de investigación aprobado por la Universidad del Valle, con el auspicio de COLCIENCIAS.

Orozco, M. (1997). Análisis microgenético y procesual de la construcción de la operación multiplicativa (Tesis Doctoral en Psicología). Universidad de Barcelona, España.
Orozco, M., Guerrero, D. F., & Otálora, Y. (2007). Los errores sintácticos al escribir numerales en rango superior. Infancia y Aprendizaje, 30 (2), 147 – 162.

Orozco, M., & Hederich, C. (2000). Construcción de la operación multiplicativa y del sistema de notación en base 10: una relación posible. Informe final de investigación. Centro de Investigaciones en Psicología, Cognición y Cultura. COLCIENCIAS. Universidad del Valle; Santiago de Cali.
Otálora, Y. (2009). Cambio cognitivo en la comprensión numérica de niños en los primeros años escolares. Informe final de investigación. Centro de Investigaciones en Psicología, Cognición y Cultura. Universidad del Valle: Santiago de Cali: Power, R. & Dal

Martello, M. (1990). The dictation of Italian numerals. Language and Cognitive
Processes, 5, 237 – 254.

Medina, D. A. (2013). Evaluación del cambio en la producción de numerales arábigos. Memorias del I Congreso de Educación Matemática de América Central y el Caribe. P.p. 796-807 

Seron, X., Deloche, G. & Noël, M.P. (1991). Un transcodage des nombres chez l'enfant: La production des chiffres sous dictée. En J. Bideaud, C. Meljac & J
.P. Fisher (Ed.), Les chemins du nombre (pp. 303 -328). Presse universitaire de Lille, France. Traduction anglaise: Pathways to numbers. Lawrence Erlbaum.

Seron, X. & Fayol, M. (1994). Number transcoding in children: A functional analysis. British Journal of Developmental Psychology, 12, 281 - 300.
Varelas, M. & Becker, J. (1997). Children ́s Developing Understanding of place Value: Semiotic Aspects. Cognition and Instruction, 15, 2, 256 – 286.

Wellman, H., & Miller, K. F. (1986). Thinking about nothing: development of the concepts of zero. British Journal of Developmental Psychology, 4, 31 – 42
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Idea 88: Estudiar la relación entre los resultados de evaluación de los docentes y de los estudiantes


Tema para tesis 88: Estudiar la relación entre los resultados de evaluación de los docentes y de los estudiantes
Ya hemos hablado acerca de la evaluación en Educación Matemática aquí vamos a dar un nuevo tema para tesis relacionado al estudio de la relación que existe entre los resultados de evaluación aplicados a los profesores y aquellos aplicados a los estudiantes.

En un estudio presentado por Bonilla, Vizcarra y Jiménez (2013) participaron profesores de matemáticas y estudiantes de tercer grado de bachillerato, a los cuales se les aplicó una prueba de matemáticas, con tres propósitos: primero conocer sus fortalezas y debilidades ante una prueba objetiva y estandarizada de matemáticas; segundo, determinar cursos de actualización para los docentes que conviertan sus debilidades en fortalezas; y tercero, que los profesores
conozcan las debilidades de los estudiantes y apliquen las estrategias pertinentes para potenciar su aprendizaje. De los datos obtenidos, se detectaron los reactivos de mayor dificultad, en el caso de los docentes, los reactivos con un porcentaje menor o igual al 90% de respuestas correctas; y en el caso de los estudiantes, los de un porcentaje de respuestas correctas menor o igual al 60%. Los resultados señalan que las debilidades de los docentes, son las debilidades de los estudiantes.

Los autores mencionados concluyen:
  • Las debilidades que observamos en los docentes, están más relacionadas con la resolución de reactivos en los que se tiene que obtener un modelo matemático para darle solución y con las diferentes representaciones de un objeto matemático.
  • Los docentes, al igual que los estudiantes, muestran debilidades en el tema de las fracciones, que por muchos años ha frustrado la vida académica de generaciones.
Como se observa, difícilmente se puede enseñar lo que no se sabe y/o conoce, de allí que una implicación para mejorar el rendimiento de los estudiantes, es mejorar el rendimiento de los profesores. Seguir bajo esta línea de investigación nos permitirá proponer mejores cursos y contenidos a la hora de plantear cursos de actualización docente en Matemáticas.

Si te interesa este tema para tesis, te recomiendo lo siguiente:
1.- Elegir a un grupo de profesores.
2.- Elegir a un grupo de estudiantes.
3.- Diseñar y/o adecuar evaluaciones de contenidos.
4.- Aplicar tus instrumentos de colección de datos.
5.- Sistematizar y analizar tus datos.
6.- Difundir tus hallazgos.
7.- Disfrutar de investigar investigando.


Te recomiendo las siguientes lecturas.

Bain, K. (2006). Lo que hacen los mejores profesores universitarios. España: Publicaciones de la Universidad de Valencia.

Bonilla, L. A.; Vizcarra, F.; Jiménez, J. V.  (2013) Evaluación de docentes y estudiantes de bachillerato mediante pruebas objetivas y estandarizadas de matemáticas. Memorias del I Congreso de Educación Matemática de América Central y el Caribe. P.p 785 - 795

Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Cali, Colombia: Artes Gráficas Univalle.

Lee, C. (2006). El lenguaje en el aprendizaje de las matemáticas. España: Ediciones Morata.

Lerman, S. (1990). Alternative perspectives of the nature of mathematics and their influence on the teaching of mathematics. British Educational Research Journal., 6(1), 53-61.

Macnab, D. S., & Cummine, J. A. (1192). La enseñanza de las matemáticas de 11 a 16. Un enfoque centrado en la dificultad. España: Visor.

Pimm, D. (1990). El lenguaje matemático en el aula. España: Ediciones Morata.
Santos Trigo, L. M. (2007). La resolución de problemas matemáticos. Fundamentos cognitivos. México: Trillas.
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Idea 87: Estudiar las estrategias de solución de problemas de Matemáticas que utilizan los estudiantes

Para llegar a la solución de un problema se recorren diversos caminos. Analizar el camino que recorre un estudiante en la solución de problemas es el tema de tesis 87.
Tema de tesis 87: Estudiar las estrategias de solución de problemas de Matemáticas que utilizan los estudiantes
En una investigación realizada por Hernández (2013) se presenta un análisis de las estrategias de solución de problemas matemáticos de los estudiantes de un  Ciclo de Iniciación Universitaria (CIU) y cómo el docente apoya este proceso... Para ello, se propone que los estudiantes actúen como resolvedores de problemas esto es, que desarrollen o consoliden sus habilidades y destrezas en la comprensión y solución de los problemas. Y que el docente desarrolle estrategias didácticas para apoyar este proceso.

En esta investigación, a decir del autor:
  • Los estudiantes se iniciaron en la estrategia resolución de problemas y por la carencia de recursos cognitivos y otros factores no llegaron a desarrollar el módelo de Polya. 
  • Por otra parte, se observó que previo a la aplicación de la estrategia de resolución de problemas los estudiantes utilizaron el ensayo y error como su estrategia didáctica para dar respuesta al problema. 
  • Algunos estudiantes desarrollaron los problemas aplicando el método.
Como se observa, las diversas estrategias de solución que utilizan los estudiantes al resolver un problema nos provee de un banco de soluciones a un mismo problema, reflexionar acerca de cada proceso permite comprender que los procesos para llegar a los resultados no necesariamente son únicos sino que estos pueden tener diversos caminos.

Si te interesa este tema, te recomiendo lo siguiente:

1.- Elige a un grupo de estudiantes.
2.- Elige a una institución
3.- Elige ciertos problemas de matemáticas.
4.- Observa cómo lo resuelven tus estudiantes.
5.- Analiza tus resultados.
6.- Comparte tus hallazgos.
7.- Disfruta de investigar investigando.

Además, te recomiendo las siguientes lecturas.


Barrientos, O. (2010). La actitud científica ante la resolución de problemas matemáticos. La Paz: IIICAB.

Campistrous, L y Rizo, C. (1996). Aprender a resolver problemas aritméticos. La Habana: Editorial pueblo y educación.

Charles, R., Lester, F., O`Daffer, P. (1994). How to evaluate progress in problem solving, National Council of Teachers of Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Hernández, A. (2013) Estrategias de solución de problemas matemáticos en estudiantes preuniversitarios. Memorias del I Congreso de Educación Matemática de América Central y del Caribe. P. p. 757 -  765

Perales, F. (1993). La resolución de problemas: una revisión estructurada. Enseñanza de las Ciencias. 11(2). 170-178.

Polya, G. (1957). How to solve it. New Jersey: Princeton University.

Serres, Y. (2000). Aspectos a considerar en un diseño de instrucción centrado en el proceso de solución de problemas matemáticos. Caso del Curso Introductorio de la Facultad de Ingeniería de la UCV. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. Vol. 13.

Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. En D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334-370). New York: Macmillan.
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Idea 86: Analizar las estrategias comunicativas en el aula de Matemáticas



Tema de tesis 86: Analizar las estrategias comunicativas en el aula de Matemáticas

El estudio de la comunicación en el aula de matemáticas es un tema que se puede concretar en una tesis de grado y es que ¿Qué elementos posee una comunicación adecuada para la enseñanza - aprendizaje de la matemática escolar? Este tema de tesis centra su atención en la búsqueda de una respuesta hacia esta pregunta.


En una investigación realizada por Suárez (2013) se presentan los resultados de una investigación que
tuvo como objetivo analizar aspectos destacados para una comunicación apropiada en clase de matemáticas; entendida esta como la que ocurre en un espacio donde se promueve la interacción, la participación de los sujetos, la argumentación, el debate y la negociación de significados, teniendo en cuenta como aspecto central en la obtención de significados. En esta investigación, se desarrolló trabajando con dos poblaciones, una en el  nivel básico y otra en educación superior. Se hizo un diagnóstico inicial sobre la forma como habitualmente se da la comunicación, estableciendo los patrones de interacción de esos docentes en sus clases. Se diseñaron y desarrollaron actividades
específicas de clase, implementando una dinámica novedosa para el trabajo en grupo, como espacio de conjeturación, argumentación y debate hasta llegar a consensos. La investigación mostro cómo, con este tipo de estrategias la clase se convierte en una comunidad que hace, discute y aprende matemáticas.

Además; a decir de la autora, se encontró que:
  • A través del análisis de los cuestionarios de pregunta abierta aplicados a docentes y estudiantes y de las fichas de observación directa, se lograron identificar los diferentes patrones de interacción y comunicación a los que se recurre frecuentemente en la en la clase de matemáticas. De acuerdo con este análisis se evidenció que dentro de la población de docentes analizados, la mayor parte utiliza el patrón de interacción unidireccional, centrado en el discurso del profesor, donde la comunicación se da en una sola vía. 
  • Una minoría utiliza patrones de discusión, centrados en construir el aprendizaje de la matemática a partir de la interacción generada a través de la argumentación y discusión. 
  • Con respecto, al uso de estrategias de comunicación tales como el trabajo en grupo, las narrativas orales y la intencionalidad de la pregunta para el desarrollo de las clases, se confirma que la construcción de significados se da mediante la interacción con el otro, formulando conjeturas, haciendo reelaboraciones con el acompañamiento de colegas y docentes, cuestionando los constructos de otros y promoviendo acuerdos. Lo anterior puede notarse durante en el trabajo en grupo o las plenarias realizado y analizado.
  • Cuando el aprendizaje es fruto de la interacción y el estudiante tiene la oportunidad de ser partícipe de la construcción de su conocimiento, los conceptos matemáticos se dan de forma natural producto de la negociación de significados; como ocurrió en el taller sobre medición de la cancha de deportes, o en otro sobre solución de ecuaciones.
  • El cambio de concepción epistemológico de la matemática como un conjunto de objetos abstractos y acabados, hacia una visión de la matemática como construcción social e interligada con la cultura se hace imprescindible para dinamizar las clases y mejorar los aprendizajes.
Como se observa los conocimientos matemáticos se dan en colectividad y es en esta colectividad donde se van negociando y aprendiendo los procesos de solución de diversos problemas. Seguir bajo esta línea de investigación se nota interesante.

Si te interesa este tema, te recomiendo lo siguiente:

1.- Elegir a un grupo de estudiantes.
2.- Elegir a un nivel educativo.
3.- Observar la clase.
4.- Organizar ciertas actividades y evaluarlas.
5.- Colectar tus datos.
6.- Analizar tus datos.
7.- Difundir tus resultados.
8.- Disfrutar de investigar investigando.

Además, te recomiendo las siguientes lecturas.

Godino, J. D., & Batanero, C. (1994). Significato institucional y personal de los objetos matemáticos. Recherches en Didactique des Mathématiques, 325-255.

Flanders, N. (1977). Análisis de la interacción. Anaya, España.

Godino, J. D., & Llinares, S. (2000). El interaccionismo simbólico en educación matemática.
Educación Matemática, 70-92.

Jimenéz E., A., Galindo, S., & suárez, N. (Diciembre de 2010). La comunicación eje central en la
clase de matemáticas. Práxis y Saber, 1(2), 173-202.

Menezes, L. (2004). A importância da pergunta do professor na aula de Matemática. EscolaSuperior de Educação de Viseu.

Menezes, L., & Ponte , J. (2006). Da reflexão à investigação: Percursos de desenvolvimentoprofissional de professores do 1.o ciclo na área de Matemática. Escola Superior de Educação de Viseu e Centro de Investigação em Educação.

Ponte, J. (2007). “A comunicação nas práticas de jovens professores de Matemática". Revista
Portuguesa de Educação, 39-74.

Suárez, N. Y. (2013) Estrategias comunicativas en la clase de matemáticas. Memorias del I Congreso de Educación Matemática de América Central y el Caribe. P.p. 746 - 756
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Idea 85: Estudiar las estrategias cognitivas que ponen en juego los profesores de Matemática en formación

Tema de tesis 85: Estudiar las estrategias cognitivas que ponen en juego los profesores de Matemática en formación
Ante un problema de matemáticas se activan diversos conocimientos que hemos acumulado a lo largo de nuestra experiencia, en particular los estudiantes para profesores inmersos en la enseñanza de las matemáticas ponen en juego diversas estrategias al resolver ejercicios de matemáticas. ¿Cuáles de las estrategias para la solución de problemas de matemáticas utilizan en mayor medida los estudiantes para profesor? Este tema de tesis centra su atención en la búsqueda de una respuesta al cuestionamiento anterior.

En una investigación realizada por Ciucci, Nassif, Larcher, y Monzón (2013)
se estudian las estrategias cognitivas para la resolución de problemas matemáticos que ponen en juego los estudiantes del Profesorado de Enseñanza Básica. Se focalizó en las secuencias de procedimientos que eligen para llegar a solucionar problemas, cómo las planifican, las formas de validación y el modo en que defienden los resultados logrados.

Las autoras reflexionan, a la luz de sus resultados, lo siguiente:


  • Los primeros análisis parecieran confirmar las anticipaciones explicitadas respecto a las dificultades que manifiestan los estudiantes y que se expresan en la falta de una lectura comprensiva de los enunciados, falta de pertinencia en la formulación de hipótesis, apego a la utilización mecánica de algoritmos convencionales, imposibilidad de comunicar resultados y de explicar fundadamente los criterios usados para la selección de procedimientos. Con lo cual, pareciera cerrarse el círculo en términos de sus imposibilidades.
  • Es posible observar una recurrencia en las respuestas de los estudiantes consistente en la disyunción entre conocimiento intuitivo y conocimiento de sentido común. La resolución de problemas en el ámbito escolar, parece operar como un contexto aislado, independiente de la vida cotidiana. Parecieran suprimir su conocimiento acerca de números y ámbitos y, en su lugar, intentan seguir un conjunto de reglas aplicadas rígidamente para resolver problemas.
  • Los estudiantes evidencian, en general, desconocimiento acerca de qué es lo que realmente está en juego cuando se les plantea un problema. Pareciera que de lo que se trata es de “identificar el algoritmo”. Pensar que las matemáticas son un modo de comprender el mundo, que alguien puede participar significativamente en esta suerte de “conversación” no parece frecuente.
Como se observa, los mecanismos presentes en los profesores en formación, a la hora de resolver un problema Matemático involucra varias acciones, aunque como dicen las autoras, éstas se apegan más a la búsqueda de un algoritmo para resolver un problema. Estudiar las estrategias cognitivas nos permite entender los procesos por los que pasan los profesores de Matemáticas que son un indicador para saber cómo pondrán en contexto sus conocimientos a la hora de estar frente a grupo.

Si te interesa este tema, te recomiendo:

1.- Elegir a un grupo de estudiantes para profesor de Matemáticas.
2.- Elegir un conjunto de problemas para observar sus estrategias.
3.- Diseñar tus instrumentos de colección de datos.
4.- Analizar tus datos.
5.- Compartir tus resultados.
6.- Disfrutar de investigar investigando.

Además, te recomiendo las siguientes lecturas.
 

Brown, J.S. y Burton, R.R. (1978). “Diagnostic models for procedural bugs in Basic mathematical skills. Cognitive Science” citado por Hernandez, H. (1993) Folleto Didáctica de la Matemática. Quito, Ecuador.

Ciucci, M. R.; Nassif, Y.; Larcher, L. G.; y Monzón, L. B. (2013) Estrategias cognitivas para resolver problemas matemáticos en alumnos de Profesorado en Enseñanza Básica.  Memorias del I Congreso de Educación Matemática de América Central y el Caribe. P.p. 734


Ferreira, H. y Peretti, G. (2006) Diseñar y gestionar una educación autentica. Desarrollo de Competencias en Escuelas situadas. Edit. Novedades Educativas.

Gaskins, I y Elliot, T. ( 2005) Como enseñar estrategias cognitivas en la escuela. Paidós Editorial. Bs. As.
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Idea 84: Analizar la implementación de un plan curricular: el caso del plan de estudios 2011

Tema de tesis 84: Analizar la implementación de un plan curricular: el caso del plan de estudios 2011

Dicen que del dicho al hecho hay mucho trecho. ¿Qué pasa con lo que se encuentra plasmado en el plan de estudios y su puesta en práctica? Siempre que se encuentran involucrados diversos actores, entre ellos el profesor ¿Cómo concreta el profesor las indicaciones, que se encuentran en los planes y programas, en el salón de clases?

En una investigación realizada por Arévalo (2013) se presenta una investigación que pretende identificar si la enseñanza que ofrecen los profesores en la escuela primaria y particularmente en primer grado, se ha modificado atendiendo al enfoque didáctico propuesto desde el Plan de Estudio 2011. En esta investigación se ha hecho uso de un método mixto; obteniendo información que ha posibilitado conocer el estado actual sobre la enseñanza de docentes en servicio.

La autora, con base en sus datos y observaciones, concluye que:
  • Pese a la puesta en marcha desde el 2011 del Plan de Estudios actual, se ha de reconocer que las formas de enseñanza de la mayoría de los profesores observados, independientemente del contexto, del tipo de organización de las instituciones, de la antigüedad en el sistema y el tipo de contratación, reflejan escaso apego a lo establecido desde el enfoque metodológico propuesto.
  • Sus prácticas recurren frecuentemente a transmisión de información y control casi estricto sobre lo que sucede en el aula, dejando pocas oportunidades a que los estudiantes compartan ideas y las enriquezcan con las opiniones de sus compañeros, resuelvan problemas, desarrollen habilidades para argumentar y comuniquen e interpreten ideas tanto las propias como las de sus pares.
  • El alumno sigue siendo un receptor de información y un ejecutor de acciones que el docente indica, generándose por consiguiente, una enseñanza instructiva. Los paradigmas positivistas y conductistas siguen orientando muchas de sus prácticas cotidianas, mezcladas contradictoriamente con los discursos derivados de los cambios realizados en planes y programas de estudio que promueven enfoques constructivistas, reflexivos y críticos.
  • Es importante y necesario trabajar desde los primeros grados con apego a los fundamentos pedagógicos y metodológicos propuestos, pues ello garantizará sin duda, mejores resultados en los subsiguientes ciclos escolares; ya que las primeras experiencias que vivan los alumnos al estudiar matemáticas en la escuela primaria traerá como consecuencia el gusto o el rechazo, la creatividad para encontrar soluciones o la pasividad para escuchar y reproducir patrones, la búsqueda de explicaciones o bien la sujeción de éstos al criterio de su profesor como ha sucedido durante décadas en los espacios educativos.
Como se observa, el análisis de la implementación de los planes curriculares nos permite entender la discrepancia que existe entre lo que se encuentra plasmado en los documentos y lo que se realiza en la práctica escolar.

Si te interesa este tema te recomiendo.

1.- Elegir un plan de estudios de cierto año.
2.- Elegir un cierto nivel educativo.
3.- Analizar los textos de tal plan.
4.- Observar las clases planeadas con base en los planes estudiados.
5.- Colectar tus datos.
6.- Analizar tus datos.
7.- Difundir tus resultados.
8.- Disfrutar de investigar investigando.

Además te recomiendo las siguientes lecturas.

Arévalo, E. (2007). Evaluación del dominio de propósitos, contendidos y enfoques del Plan de Estudios 1993 de los egresados de la Normal “Miguel F. Martínez”, Centenaria y Benemérita. Generación 2002 - 2006. Tesis de Maestría en Escuela de Graduados ENSE NL. México

Arévalo, E. (2013) Enseñanza de las matemáticas. Plan de Estudios 2011. Memorias del I Congreso de Educación Matemática de América Central y el Caribe. P.p. 709 - 721
Rico, L. & Lupiáñez, J. L. (2008). Competencias matemáticas desde una perspectiva curricular. Madrid: Alianza Editorial

Saint-Onge, M. (1997). Yo explico, pero ellos... ¿aprenden? España: Bilbao

Sánz, G. (2005). Comunicación efectiva en el aula. España: Editorial GRAÓ

Zabala, A. (2000). La práctica educativa. Cómo enseñar. España: Editorial Graó
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Idea 83: Estudiar los oportunidades de aprendizaje en el salón de clases de Matemáticas

Tema de tesis 83: Estudiar los oportunidades de aprendizaje en el salón de clases de Matemáticas
En el proceso de enseñar y aprender ocurren infinidad de situaciones que nos brindan un panorama de estudio desde diversos puntos de vista. La idea de tesis 83 centra su atención en el estudio de las oportunidades de aprendizaje en el salón de clases.

En un estudio realizado por Zakaryan (2013) se presentan resultados parciales de un estudio de dos casos (en España y Armenia), que ha tratado de conocer la importancia que tienen las oportunidades de aprendizaje (OTL) que ofrece el profesor en su aula a la hora de facilitar la adquisición de las competencias matemáticas (CM) de sus estudiantes. La autora toma la información de observaciones de clases y entrevista (a dos profesores de Educación Secundaria) y de prueba (a los estudiantes de 15 años) y realiza un análisis de datos combinando técnicas cualitativas y cuantitativas. Los resultados de esta investigación, relativos al tipo de tareas, han constatado una fuerte relación de las CM de los estudiantes con la oportunidad de resolver cierto tipo de tareas (demanda cognitiva y situaciones/contextos en las que se plantean).

Además, la autora comenta:
  • Se ha confirmado una fuerte relación de las CM de los estudiantes con la oportunidad de resolver cierto tipo de tareas, particularmente, es evidente la importancia tanto de la demanda cognitiva de la tarea como su presentación en diferentes situaciones y contextos.
  • Es importante intentar modificar los sistemas de creencias de los estudiantes acerca de los problemas escolares, rompiendo sus expectativas de que todo problema aritmético se resuelve aplicando las cuatro operaciones o sus diferentes combinaciones, proponiendo problemas cuyo enunciado contiene datos superfluos, problemas sin solución o con múltiples soluciones y potenciando el uso de distintos sistemas de representación (Callejo, 2008).
Como vemos, estudiar las oportunidades de aprendizaje que se tiene en el salón de clases de Matemática se encuentra relacionado con las competencias matemáticas que desarrollan los estudiantes. Desarrollar mejores oportunidades nos permitirá atender de mejor manera a nuestros estudiantes a fin de que puedan aplicar las soluciones aprendidas en clases de matemáticas en otros contextos.

Si te interesa este tema te recomiendo lo siguiente.

1.- Elegir a un grupo de estudiantes.
2.- Elegir observar a las oportunidades de aprendizaje.
3.- Coleccionar tus datos.
4.- Analizar tus datos.
5.- Difundir tus resultados.
6.- Disfrutar de investigar investigando.


Te recomiendo las siguientes lecturas.

Callejo, M. L. (2008). Desarrollo de competencias y resolución de problemas realistas. En M. Hervás (Coord.), Competencia matemática e interpretación de la realidad (pp. 63-74). Madrid: MEC.

Carrillo, J., Contreras, L.C. & Zakaryan, D. (en prensa). Avance de un modelo de relaciones entre las oportunidades de aprendizaje y competencias matemáticas. Bolema.

Doyle, W. (1988). Work in mathematics classes: The context of student’s thinking during instruction.Educational Psychologist, 23 (2), pp. 167-180.

Gómez, P. (2007). Desarrollo del conocimiento didáctico en un plan de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Granada: Universidad de Granada.

Greer, B. (1993). The modelling perspective on wor(l)d problem. Journal of Mathematical Behavior, 12, pp. 239-250.

Hiebert, J. & Grouws, D. (2007). The effects of classroom mathematics teaching on students’ learning. In F. Lester (Ed.). Handbook of Research on Mathematics Tteaching and Learning (pp. 371-404). NCTM: Information Age Publishing.

Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (Eds.). (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington: National Academy Press.

Lo, J. & Wheatly, G. (1994). Learning opportunities and negotiating social norms in mathematics class discussion. Educational Studies in Mathematics, 27(2), pp. 145-164.


Niss, M. (1999). Competencies and Subject Description. Uddanneise, 9, pp. 21-29.

OCDE (2004). Learning for tomorrow’s world. First Results from PISA 2003. Paris: OECD.

Schoenfeld, A. (1998). On modeling teaching. Issues in Education, 4(1), 149 - 162.

Stein, M., Grover, B, Henningsen, M. (1996). Building student capacity for mathematical thinking and reasoning: analysis of mathematics tasks used in reform classroom. American Education Research Journal, 33 (2), pp. 455-488.

Stevens, F. & Grymes, J. (1993). Opportunity to learn: Issues of equity for poor and minority students. Washington, DC: National Center for Education Statistics.

Sullivan, P., Clarke, D., Clarke, B. & O ́Shea, H. (2010). Exploring the relationship between task, teacher actions, and student learning. PNA, 4 (4), pp. 133-142.

Treffers, A. y Goffree, F. (1985). Rational analysis of realistic mathematics education – The Wiskobas program. In L. Streefland (Ed.), Proceedings of the 9th annual conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 2 (pp. 97-121). Utrecht: PME.

Verschaffel, L., Greer, B. & De Corte, E. (2000). Making sense of word problems. Netherlands: Swets & Zeitlinger.

Yoshida, H., Verschaffel, L. & De Corte, E. (1997). Realistic consideration in solving problematic word problems: Do Japanese and Belgian children have the same difficulties? Learning and Instruction, 7, pp. 329-338.

Vicente, S. Van Dooren, W. & Verschaffel, L. (2008). Utilizar las matemáticas para resolver problemas reales. Cultura y Educación, 20 (4), pp. 391-406.

Zakaryan, D. (2011). Oportunidades de aprendizaje y competencias matemáticas de estudiantes de 15 años. Un estudio de casos. Tesis Doctoral.

Zakaryan (2013). El tipo de tareas como oportunidad de aprendizaje y competencias matemáticas de estudiantes de 15 años. Memorias del I Congreso de Educación Matemática de América Central y el Caribe. P.p 677 - 688.
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Idea 82: Analizar el pensamiento variacional presente en los libros de texto.

Ya hemos visto que el análisis de los libros de texto nos permite entender cómo se presentan ciertos contenidos matemáticos para su enseñanza en cierto nivel educativo. Este tema de tesis centra su atención en el analisis del pensamiento variacional en tales materiales.
Tema de tesis 82: Analizar el pensamiento variacional presente en los libros de texto
En una investigación presentada por Tavera y Villa- Ochoa (2013) se reportan parte de los resultados obtenidos de una investigación que centró su atención en el estudio de algunos tópicos de la trigonometría plana presente en los libros de texto de matemáticas de la Educación
Media (15 - 18 años). En particular, los autores, se propusieron interpretar la manera en que los
libros de texto de matemáticas ponen de relieve los aspectos variacionales en estos tópicos. A través de la técnica del análisis de contenido, los autores pudieron observar que generalmente esta temática se desarrolla a través de expresiones algebraicas para calcular “datos fijos y desconocidos” de un triángulo; los resultados de dicho estudio muestran la necesidad de diseñar propuestas alternativas, en las cuales se haga hincapié en la visualización de relaciones “dinámicas” y funcionales entre los
ángulos y los lados de un triángulo.

Además los autores agregan:
  • Los ejercicios o problemas propuestos sobre el estudio de las relaciones trigonométricas centran la atención en el reconocimiento y la matematización de la variación.
  • Los resultados encontrados en el análisis de ambos conjuntos de textos escolares permiten observar que los contextos simulados y reales... aparentan estar invisibles en el estudio de las relaciones trigonométricas, según las actividades, ejercicios y problemas propuesto en los libros de texto seleccionados; esto es coherente con la complejidad que implican este tipo de contextos que exigen de cierto dinamismo no solo a nivel de los conceptos matemáticos mismos, sino de las relaciones entre las matemáticas y las situaciones extraescolares.
  • Los estudios previos consultados en esta investigación reportan que el uso de la geometría dinámica (e.g.: Software Geogebra) permite estudiar algunas temáticas de la trigonometría plana desde el punto de vista variacional, ya que incorpora el movimiento en forma de variable para que el estudiante identifique los fenómenos de cambio y variación allí expuestos, de tal manera que analice e interprete las relaciones producidas por éstas en una situación determinada, sin embargo en ambos conjuntos de textos escolares, se observa cierto descuido sobre el rol de la tecnología.
Elegir un tema para mirar cómo se encuentra en los libros de texto es un tema por demás interesanta, en el caso de la variación existe un discrepancia entre lo que debe hacerse, en lo que está escrito y en lo que se hace.

Si te interesa esta linea de investigación, te recomiendo lo siguiente.

1.- Elige un conjunto de libro de textos a analizar.
2.- Elige un tema a analizar.
3.- Realiza un análisis de tal temática en el libro.
4.- Sistematiza tus resultados.
5.- Comparte tus hallazgos.
6.- Disfruta de investigar investigando.

Además, las siguientes lecturas te serán de utilidad.

Krippendorff, K. (1990). Metodología de análisis de contenido: teoría y práctica. Barcelona:
Ediciones Paidós.


Pino Ceballos, J., & Blanco, L. (2008). Análisis de los problemas de los libros de texto de
matemáticas para alumnos de 12 a 14 años de edad de España y de Chile en relación con los
contenidos de proporcionalidad. Publicaciones, 38, 63 - 88.

Randahl, M. (2012). Approach to mathematics in textbooks at tertiary level: Exploring authors’
views about their texts. International Journal of Mathematical Education in Science and
Technology, 43(7), 881 - 896.


Tavera, F.; y Villa-Ochoa, J. A. (2013) El pensamiento variacional en los libros de texto de matemáticas:el caso de las relaciones trigonométricas. Memorias del I Congreso de Educación Matemática de América Central y el Caribe. P.p. 666 - 676

Villa-Ochoa, J. A., & Ruiz Vahos, H. M. (2009). Modelación en educación matemática: Una
mirada desde los Lineamientos y Estándares Curriculares colombianos. Revista Virtual
"Universidad Católica del Norte", 27, 1 - 21.

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80 temas para tesis relacionadas con Educación Matemática que deberías conocer


80 temas para tesis relacionadas con Educación Matemática que deberías conocer
Es momento de colocar las 80 ideas de tesis que hemos puesto en este espacio una por una. Estas ideas se pueden concretar en trabajos de tesis de licenciatura, maestría y doctorado relacionados con educación, en especial de Matemática Educativa. Aquí las ideas

Idea 80: Analizar libros de texto de Matemáticas desde el punto de vista histórico


Tema de tesis 80: Analizar libros de texto de Matemáticas desde el punto de vista histórico Ya antes hemos hablado de la influencia de los aspectos históricos en la enseñanza - aprendizaje de la Matemática. Este tema de tesis se conduce...
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Idea 79: Estudiar la dimensión afectiva en la enseñanza de la Matemática


Tema de tesis 79: Estudiar la dimensiones afectiva en la enseñanza de la Matemática El contexto social, las emociones, la personalidad, entre otros factores, influyen en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática Escolar. Estudiar...
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Idea 78: Analizar la puesta en práctica de una reforma educativa


Tema de tesis 78: Analizar la puesta en práctica de una reforma educativa Una cosa es lo que está escrito y otra es la que se lleva a la práctica. ¿Cuáles son las dificultades que enfrentan los profesores para poder concretar lo que se encuentra...
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Idea 77: El estudio de las representaciones gráficas y algebraicas de funciones lineales y cuadráticas


Tema de tesis 77: El estudio de las representaciones gráficas y algebraicas de funciones lineales y cuadráticas Estudiar las dificultades que presentan los estudiantes al abordar el tema de las representaciones gráficas y algebraicas es...
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Idea 76: Analizar las demostraciones geométricas en un grupo de estudiantes


Tema de tesis 76:  Analizar las demostraciones geométricas en un grupo de estudiantes Esta idea de tesis centra su atención en el análisis de las demostraciones geométricas que realizan un grupo de estudiantes. Y es analizar las deducciones...
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Idea 75: Construir materiales de enseñanza - aprendizaje mediadas por un programa informático


Tema de tesis 75: Construir materiales de enseñanza - aprendizaje mediadas por un programa informático Construir materiales de enseñanza mediadas por la tecnología permite incluir a los estudiantes hacia los avances tecnológico que van...
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Idea 74: Analizar la enseñanza - aprendizaje de ecuaciones lineales mediada por la tecnología


Tema de tesis 74: Analizar la enseñanza - aprendizaje de ecuaciones lineales mediada por la tecnología Las nuevas tecnologías modificar el actuar tanto del profesor como del estudiante en relación al proceso de enseñanza - aprendizaje....
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Idea 73: Analizar libros de texto


Tema de tesis 73: Analizar libros de texto Es indudable que los cambios en los lineamientos educativos se concretan en los planes y programas de estudio, la Matemática escolar no escapa de este hecho. ¿Cómo se refleja este cambio en los...
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Idea 72: Analizar los estados de certeza en la solución de problemas de matemáticas


¿Cómo se refleja certeza en la solución que damos a los problemas de Matemáticas? Y es que al argumentar o contra argumetar nuestras soluciones a diversos ejercicios de matemáticas reflejamos nuestros estados epistémicos en las frases o palabras...
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Idea 71: Estudiar las transformaciones lineales desde el punto de vista de los registros semióticos.


Tema de tesis 71: Estudiar las transformaciones lineales desde el punto de vista de los registros semióticos. Estudiar el tratamiento que le dan los estudiantes a temas selectos de Matemáticas permite entender y comprender las diversas operaciones...
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Idea 70: Estudiar las competencias docentes desde el punto de vista de los estudiantes


Tema de tesis 70: Estudiar las competencias docentes desde el punto de vista de los estudiantes Estar frente a grupo precisa de tener ciertas habilidades. ¿Cuáles  de tales habilidades y/o competencias debe tener un profesor de Matemáticas...
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Idea 69: ¿Y la historia para qué? Aspectos históricos en la formación de profesores de Matemáticas


¿Y cómo habrá surgido un concepto de Matemáticas?¿Y por cuáles denominaciones habrá pasado a través del tiempo?... Este tema de tesis centra su atención en la influencia de la historia de un cierto concepto de matemáticas en la formación de...
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Idea 68: Diseñar materiales didácticos de Matemáticas que incluyan a las nuevas tecnologías


Tema de tesis: Diseñar materiales didácticos de Matemáticas que incluyan a las nuevas tecnologías Diseñar e implementar materiales en donde el uso de las nuevas tecnologías tenga un papel relevante para la enseñanza - aprendizaje es el...
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Idea 67: Analizar una clase de Matemáticas apoyada con recursos tecnológicos


Tema de tesis 67: Analizar una clase de Matemáticas apoyada con recursos tecnológicos El avance de las nuevas tecnologías nos pone retos en el salón de clases. ¿Cómo saber si un diseño de una clase cumplió su objetivo?¿Cómo saber si los...
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Idea 66: Identificar y caracterizar cambios en las concepciones de las y los profesores en formación


Tema de tesis 66: identificar y caracterizar cambios en las concepciones de las y los profesores en formación Observar los cambios que van sucediendo a través del tiempo es de lo más interesante; sobre todo si es después de la aplicación...
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Idea 65: Análisis del discurso: profesores universitarios y variación


En anteriores entradas hemos hablado acerca del análisis del discurso, aquí vamos centrar la atención en una población particular y en un tema particular, el caso de profesores universitarios y el contenido de variación. Veamos: Tema de tesis...
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Idea 64: Estudiar la trayectoria docente en Didáctica de la estadística.


¿Cómo pone en escena las cuestiones aprendidas de estadística, un profesor de matemáticas, cuando se encuentra frente a grupo? Esta pregunta conduce el tema de tesis 64 denominado "Estudiar la trayectoria docente en didáctica de la estadística"...
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Idea 63: Diseño de actividades en el aula de clase para el aprendizaje de la matemática


Tema de tesis 63: Evaluar actividades en el aula de clase para el aprendizaje de la Matemática Diseñar ciertas actividades para el aprendizaje de la Matemática conlleva a tomar en cuenta diversos acercamientos para plasmar el proceso a...
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Idea 62: Emociones de los profesores de Matemáticas en formación hacia la Matemática y su enseñanza - aprendizaje


Dedicarse a la profesión docente es de lo más apasionante. Tomar este camino de vida por convicción y elección se nota en nuestras actividades académicas y científicas. En los centros de formación de profesores en donde se preparan a los...
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Idea 61: Analizar el aprendizaje de Matemáticas mediadas por la Web 2.0


En nuestras ideas de tesis hemos colocado algunas ideas relacionadas con matemáticas y tecnología. Nuestra idea de tesis 61 centra su atención en analizar el aprendizaje de Matemáticas en donde se hace uso de la tecnología. Y es que con estas...
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Y aquí las otras 60.

60 temas de tesis: 60


En esta ocasión vamos a colocar los 60 temas de tesis que hemos logrado redactar en este espacio. Son 60 miradas acerca del fenómeno educativo, en especial de la Matemática. Momento a momento vamos descubriendo nuevos caminos para tener un...
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Idea 81: Estudiar las secuencias de crecimiento visual desde el análisis realizado por estudiantes de cierto nivel educativo

Tema de tesis 81: Estudiar las secuencias de crecimiento visual desde el análisis realizado por estudiantes de cierto nivel educativo
Las maneras en cómo los estudiantes procesan la información visual es motivo de indagación, el centrarnos en las apreciaciones locales cuando éstas son extendidas a un contexto global por parte de los estudiantes permite comprender la manera acerca de cómo hacen ésta generalización. Este tema de tesis tiene por intención mostrar que el estudio de las secuencias de crecimiento visual desde el análisis realizado por los estudiantes se puede concretar en un trabajo de tesis interesante.

En una investigación realizada por Chalé y Acuña (2013) se presentan resultados de investigación acerca de cómo los estudiantes del Nivel
Medio Superior, analizan secuencias de crecimiento visual, con base en
representaciones gráficas, así como la forma en que expresan algebraicamente el patrón que subyace a una secuencia; teniendo como supuesto que el análisis visual organizado de las secuencias puede contribuir a la detección, formulación y  generalización de patrones.

Además, los autores agregan:
  • Podemos notar cómo la generalización va emergiendo en un constante dialogo con el análisis de las figuras. Lo que varía fue notado (generalización factual), fue hecho lingüísticamente explícito, de manera que fue puesto por escrito en algunas ocasiones y en otras no (generalización contextual) y posteriormente la variación fue representada por medio de símbolos (generalización simbólica).
  • Consideramos que lo anterior se debió a la forma de usar la información gráfica, ya que el proceso de visualización fue más allá de sólo notar la organización de los elementos. No solo se tiene un acercamiento a la figura de manera local, sino que los estudiantes logran una apreciación local-global dentro de la secuencia, es decir, lo que ocurre dentro de la estructura de un elemento de la secuencia, lo local, es extendido a todos los elementos siguientes, para ser visto como una característica global de todo el patrón de crecimiento.
  • La forma como participa la visualización en el proceso de generalización de secuencias gráficas, es variada.
Generalizar a partir de los hechos que vamos observando lleva consigo diversos obstáculos epistemológicos, entender el proceso de la generalización nos permite hacer anotaciones puntuales sobre los diversos modos en los que éste se realiza. Seguir bajo esta línea de investigación se ve fructífera puesto que podemos observar a profundidad cada tipo de generalización (factual, contextual y/o simbólica).

Si te interesa este tema, te recomiendo lo siguiente:

1.- Elige a un grupo de estudiantes.
2.- Diseña actividades y material de generalización.
3.- Aplica esos materiales de generalización.
4.- Colecta tus datos.
5.- Analiza tus datos.
6.- Comparte tus resultados.
7.- Disfruta de investigar investigando.

Además, te recomiendo las siguientes lecturas.

Bell, C. (2011). Lining up Arithmetic Sequences. Mathematics Teaching in the Middle School, 17(1), 34-39.

Chalé, S. D.; Acuña, C. M. (2013). El desarrollo del pensamiento algebraico: la visualización en el caso de los patrones. Memorias del I Congreso de Educación Matemática de América Central y el Caribe. P.p. 654 - 665

Duval, R. (1999). Representation, Vision and Visualization: Cognitive Functions in Mathematical Thinking. Basic Issues for Learning. En F. Hitt & M. Santos (Eds.), Proceedings of the 21st Annual Meeting of the North America Chapter of the International Group of PME (pp. 3-26). Cuernavaca, Morelos, Mexico: PMENA.

Lin, F. & Yang, K. (2004) Differentiation on student’s reasoning on linear and quadratic geometric number patterns. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education 4 (pp 457-464). Berguen, Norway.

Noss, R., Healy, L. & Hoyles, C. (1997). The construction of mathematical meanings: connecting the visual with the symbolic. Educational Studies in Mathematics 33, 203-233.

Radford, L. (2000). Signs and meanings in students’ emergent algebraic thinking: a semiotic analysis. Educational Studies in Mathematics, 42, 237-268.

Radford, L. (2006a). Elementos de una teoría cultural de la objetivación. Revista
Latinoamericana de Investigación en Matemática educativa, 9(Número especial),103-129.

Radford, L. (2006b). Algebraic thinking and the generalization of patterns: a semiotic perspective. Alatorre, S., Cortina, J.L., Sáiz, M. & Méndez, A. (Eds.) Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp.2-21). Mérida, México: Universidad Pedagógica Nacional.

Rivera, F. & Rossi, J. (2005). Figural and Numerical Modes of Generalizing. Mathematics Teaching in the Middle School, 11(4), 198-203.

Rivera, F. & Rossi, J. (2008). Middle school children’s cognitive perceptions of constructive and deconstructive generalizations involving linear figural patterns. Zentralblatt für Didaktik der  Mathematik-The International Journal on Mathematics Education, 40(1), 65-82.

Smith, M., Hillen, A. & Catania, C. (2007). Using Pattern Tasks to Develop Mathematical Understanding and Set Classroom Norms. Mathematics Teaching in the Middle School, 13(1), 38-44.

Stylianou, D. (2011). The Process of Abstracting in Students’ Representations. Mathematics Teaching in the Middle School, 17(1), 8-12.
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